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By Tomas Guardia

ISBN-10: 9801116080

ISBN-13: 9789801116080

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Por lo tanto basta calcular el producto escalar del producto vectorial con cada uno de sus factores para notar que < a × b, a >= a1 a2 b3 − a1 b2 a3 + a2 b1 a3 − a2 a1 b3 + a3 a1 b2 − a3 b1 a2 = 0. < a × b, b >= b1 a2 b3 − b1 b2 a3 + b2 b1 a3 − b2 a1 b3 + b3 a1 b2 − b3 b1 a2 = 0. Por lo tanto la direcci´on del producto vectorial a × b es perpendicular al plano generado por a y b. De la alternancia del determinante, concluimos que el producto vectorial es anticonmutativo, esto es a × b = −(b × a).

1. (Acci´on del grupo de traslaciones). Los elementos de T (2) act´ uan 2 2 sobre R de manera can´onica, en efecto si v1 , v2 ∈ R son vectores fijos del plano entonces Tv2 (Tv1 )(x) = Tv2 (x + v1 ) = (x + v1 ) + v2 = x + (v1 + v2 ) = Tv1 +v2 (x). T0 (x) = (x + 0) = x. 2. (Acci´on de grupo de rotaciones) Las rotaciones del grupo ortog- Invariantes 51 onal O(2) act´ uan en R2 de forma usual ya que ( )( )( ) cos φ − sin φ cos θ − sin θ x Rφ (Rθ (x))) = ( sin φ cos φ ) ( sin θ cos θ ) y cos φ − sin φ x cos θ − y sin θ = sin φ cos φ x sin θ + y cos θ ( ) cos φ(x cos θ − y sin θ) − sin φ(x sin θ + y cos θ) = ( sin φ(x cos θ − y sin θ) cos φ(x sin θ + y cos θ) ) x cos φ cos θ − y cos φ sin θ − x sin φ sin θ − y sin φ cos θ = (x sin φ cos θ − y sin φ sin θ + x cos φ sin θ + y cos φ cos θ) x(cos φ cos θ − sin φ sin θ) − y(sin φ cos θ + cos φ sin θ) = (x(sin φ cos θ + cos φ sin θ) +)y(cos φ cos θ − sin φ sin θ) x cos(φ + θ) − y sin(φ + θ) = (x sin(φ + θ) + y cos(φ + θ) )( ) cos(φ + θ) − sin(φ + θ) x = sin(φ + θ) cos(φ + θ) y = Rφ+θ (x) Por otra parte ( cos 0 − sin 0 R0 (x) = )0 ( sin 0) (cos x 1 0 = y (0 ) 1 x = y =x )( ) x y En general la acci´on de un grupo es, el efecto que resulta de la operaci´ on o aplicaci´on de cada uno de los elementos del grupo sobre un conjunto.

En este curso introdujimos un nuevo grupo que deforma las figuras. A este grupo lo hemos denominado, grupo af´ın. Y vimos que por ejemplo una propiedad geom´etrica importante como el ´area no era preservada por el grupo af´ın. Ya que las homotecias pueden expandir o comprimir una figura geom´etrica y por ende modificar significativamente su ´area. A continuaci´on introducimos el concepto de acci´on de un grupo. 1. Sea G un grupo. Una acci´ on de G sobre R2 es una / R2 que satisface: aplicaci´on · : G × R2 1.

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Aplicaciones de la Geometria by Tomas Guardia


by George
4.2

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